立体角

多次元

立体角についてこちらの記事より

単位円上に第１象限に点Pをとる。(1,0)から点Pまでの円弧の長さを\theta、(0,1)から点Pまでの円弧の長さを\phiとして\theta + \phi = \frac{\pi }{2}

fを点PのX座標を表す函数とする。Y座標もf(\phi)
点Pの座標は(f(\theta) ,f(\phi))
\{f(\theta)\}^2+\{f(\phi)\}^2=1

    • 性質

f(-\theta)=f(\theta)
f(\theta)=f(\theta+2n\pi)
f(\theta + \pi)=-f(\theta)
gをg(\theta )=f(\phi)=f(\frac{\pi}{2}-\theta)によって定義すればg(-\theta)=-g(\theta)

    • あとは連続性の仮定など
    • \cosの一意性の条件はなんだろうか。
  • 3Dの場合どうするか

単位球面を用意する。x\geq0, y\geq0, z\geq0の領域の球面上に点Pをとる。点Pと(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)とを大円の円弧で結び球面を３分割し、それぞれの領域の面積を\alpha,\beta,\gammaとする。ただし\alphaは点Pと(0,1,0),(0,0,1)とを結んでできた領域、\beta,\gammaは...とする。このとき\alpha+\beta+\gamma=\frac{\pi}{2}
函数fを点Pの座標として導入する。
\vec{OP}=(f(\alpha,\beta),f(\beta,\gamma),f(\gamma,\alpha))

    • 性質

f(\alpha,\beta)=f(\alpha,\gamma)　つまり　f(\alpha,\beta)=f(\alpha,\frac{\pi}{2}-\alpha-\beta)

    • 次に加法定理。ベクトルの内積を使って作る。