Flows on the Line - KABIRAの日記

2. Flows on the Line
- 2.0 Introduction
- 2.1 A Geometric Way of Thinking
- 2.2 Fixed Points and Stability
- 2.3 Population Grouth
- 2.4 Linear Stability Analysis
- 2.5 Existence and Uniqueness
- 2.6 Impossibility of Oscillations
- 2.7 Potentials
- 2.8 Solving Equation on the Computer

2.0 Introduction
- $\dot{x} = f(x)$ の一次元(one-dimentional, first-order system)の挙動を扱う
- ここで関数 $f(x)$ は $x(t)$ の関数としておく
- $f(x,t)$ ではsecond-order になるのでここでは扱わない
2.1 A Geometric Way of Thinking
- $f(x)$ のグラフを $x-\dot{x}$ 平面に書くことでベクトル場を描き、安定解、不安定解などを判定する
2.2 Fixed Points and Stability
- グラフを描いて、平衡解とその安定性を判定する
2.3 Population Growth
- $f(x)$ が与えられ、そのグラフから解だけでなく時間発展の様子を判断する
2.4 Linear Stability Analysis
- 平衡解 $x^*$ の近くでの挙動を線型の方程式で近似する
- 小さい揺らぎ $\eta(t) = x(t) - x^*$ を与える
- $\dot{\eta} = \dot{x} = f(x) = f(\eta + x^*) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f(x^*)}{n!} \eta^n = f(x^*) +f^{(1)}(x^*) \eta + O(\eta^2)$ により
- で与えられる
  - $f'(x*) > 0$ で揺らぎが増加、 $f'(x*) < 0$ で揺らぎが減衰する
  - 時定数も計算できる
  - $f'(x^*) =0$ の時は、Tayler展開の高次の項が関わる
2.5 Existence and Uniqueness
- 初期値が不安定解の場合、解が一意でないことがある
- Existens and Uniquness Theorem
  - 初期値問題について実数軸の開区間上でが連続でが実軸上の点ならば、初期値問題はある区間に解が存在し、一意である。
    - つまり、 $f(x)$ が十分滑らかならば解が存在して一意になるが、任意の時間で解が存在するという訳ではない
2.6 Impossibility of Oscillations
- これまでの $\dot{x} = f(x)$ の例では振動がみられない
- 非常に粘性の高い溶液中のバネによる運動のモデルもこれに相当する $m\ddot{x} \ll b\dot{x}$
2.7 Potentials
- ポテンシャルの導入による安定性の判定
- $f(x) = - \frac{dV}{dx}$ によりポテンシャルを導入する
- ここで $\frac{dV}{dt} = \frac{dV}{dx}\frac{dx}{dt} =- \{ \frac{dx}{dt} \} ^2 \leq 0$ なのでポテンシャルは時間とともに減少する
- ポテンシャルの極値をあたえるが平衡解で、それが下に凸（極小）ならば安定である
  - 平衡解について $\frac{dV}{dx} = 0$ と $f(x) = 0$ が同値
  - 安定性について $\frac{d^2V}{dx^2} > 0$ と $f' (x) <0$ が同値なので
2.8 Solving Equation on the Computer