集合論の基礎

集合と位相
  • 教科書

集合と位相 (数学シリーズ)

集合と位相 (数学シリーズ)

  • ド・モルガンの法則
    • X-(A \cup B )=(X-A) \cup (X-B)
    • X-(A \cap B )=(X-A) \cap (X-B)
  • 関数または写像
    • A,B: は集合として、任意のAの元に対してBの元を一つ対応させる規則
    • f:A \rightarrow B (b=f(a))
    • Aはfの始域または定義域、Bはfの終域または値域
    • A_1 \subset A f(A_1)=\{ f(a) | a \in A_1\}がfによるA_1の像
    • B_1 \subset B f^{-1}(B_1)=\{ a \in A | f(a) \in B_1 \}がfによるB_1の逆像または源像
  • 重要（等号の条件も）
  • 添字集合
    • (A_{\lambda}|\lambda \in \Lambda)
    • (\bigcup_{\lambda \in \Lambda}A_{\lambda})^c=\bigcap_{\lambda \in \Lambda}(A_{\lambda}^c)
    • (\bigcap_{\lambda \in \Lambda}A_{\lambda})^c=\bigcup_{\lambda \in \Lambda}(A_{\lambda}^c)
      • \forall \lambda \in \Lambda, \bigcap_{\lambda \in \Lambda}A_{\lambda} \subset A_{\lambda} \subset \bigcup_{\lambda \in \Lambda}A_{\lambda}を使う
  • 極限
    • (E_n|n \in N)
    • 上極限：\limsup_{n \rightarrow \infty} E_n = \bigcap_{k=1}^{\infty}\bigcup_{n=k}^{\infty}E_n
    • 下極限：\liminf_{n \rightarrow \infty} E_n = \bigcup_{k=1}^{\infty}\bigcap_{n=k}^{\infty}E_n
    • 極限：\lim_{n \rightarrow \infty}E_n (\limsup_{n \rightarrow \infty} E_n = \bigcap_{k=1}^{\infty}\bigcup_{n=k}^{\infty}E_n = \liminf_{n \rightarrow \infty} E_n = \bigcup_{k=1}^{\infty}\bigcap_{n=k}^{\infty}E_nのとき)
    • \liminf_{n \rightarrow \infty} E_n \subset \limsup_{n \rightarrow \infty} E_n
      • ^\forall j \in N, \bigcup_{k=j}^{\infty} \bigcap_{n=k}^{\infty}E_n \subset \bigcup_{k=j}^{\infty}E_kを使う