KABIRAの日記

位相空間　位相

集合と位相

位相
- 開集合系
- $\mathcal{O} \subset 2^X$
- [O1] $X \in \mathcal{O}, \phi \in \mathcal{O}$
- [O2] $O_1,O_2, \cdots Ok \in \mathcal{O} \rightarrow O_1\cap O_2 \cap \cdots \cap O_k \in \mathcal{O}$
- [O3]
  - クラトウスキィ：閉包作用素
  - ハウスドルフ：近傍系
位相空間
- 離散位相 $2^X$
- 密着位相 $\{X, \phi \}$
相対位相
- 位相空間 $(X,\mathcal{O})$
- 部分空間 $(A,\mathcal{O}_A)$
- 相対位相: $\mathcal{O}_A$
- $A \subset X (A \neq \phi), \mathcal{O}_A=\{ A \cap U | U \in \mathcal{O}\}$
開集合:O
- $O\in \mathcal{O}$
閉集合:F
- $F;F^c \in \mathcal{O}$

内部、内点
- 内部 $A^i=\cup(B \in \mathcal{O}|B \subset A)$
- 内点: $a \in A^i$
閉包、触点
- 閉包 $\overline{A}=A^a=\cap(F| F^c \in \mathcal{O}, A \subset F)$
- 触点: $a \in \overline{A}$
外部、外点
- 外部 $A^e=(A^c)^i$
- 外点: $a\in A^e$
境界、境界点
- 境界 $A^f=X-(A^i \cup A^e)$
- 境界点: $a \in A^f$
集積点、導集合、孤立点
- 集積点x: $x \in \overline{A-\{x\}}$
- 導集合 $A^d$ :集積点xの集合
- 孤立点: $a \in A - A^d$