§1. Lebegue測度とは何か

積分
  • Riemann積分による定義
    • 有限加法的
    • Aの面積を|A|と書くことにして
      • 1. 0 \leq |A| \leq \infty
      • 2. |A_1+A_2+ \cdots + A_n| = |A_1|+|A_2|+ \cdots + |A_n| ただし A_i \cap A_j = \phi \hspace{8} (i \neq j)
      • 3. AとBが合同ならば、AとBのうちどちらか一方が面積をもてば他方も面積を餅、それらは等しい
  • ルベーグ積分では
    • 完全加法性
      • 2. |A_1+A_2+ \cdots + A_n+\cdots| = |A_1|+|A_2|+ \cdots + |A_n| +\cdots ただし A_i \cap A_j = \phi \hspace{8} (i \neq j)
  • Riemannによる面積の定義が可算加法的でない例はおそらく
    • {A_r}を有理数rの定義関数として、|A_i|=0より|A_1|+|A_2|+ \cdots +| A_n|+\cdots =0
    • 一方、A_1+A_2+ \cdots + A_n+\cdots は有理数全体の定義関数、つまりディリクレ関数。このとき|A_1+A_2+ \cdots + A_n+\cdots |はリーマンでは定義できない
  • ルベーグ積分は
    • Fourier解析
    • 積分方程式
    • Hiberlt空間論
    • などに用いられるとのこと
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