closed graph theorem - KABIRAの日記

こちらで引いてある closed graph theorem は線型写像についてのもの
Theorem
- A linear mapping between two Banach spaces X and Y is continuous if and only if its graph is a closed subset of XY (with the product topology).
多価関数の場合も記述が似ている（こちら）
線型連続写像のclosed graph theorem の証明

線型写像： $T:X \rightarrow Y$ 　射影： $p_1:X \times Y \rightarrow X, \, p_2:X \times Y \rightarrow Y$
（必要）

Tが直積Banach空間で連続

$T$ 有界で $\{x_i, Tx_i \} \in G(T), \, \{x_i, Tx_i \} \rightarrow (x,y) \in X \times Y$ とする

$p_1, \, p_2$ の連続性より $x_i = p_1(x_i,Tx_i) \rightarrow p_1(x,y) = x, \hspace{8} Tx_i = p_2(x_i,Tx_i) \rightarrow p_2(x,y) = y$
一方 $T$ の連続性から $Tx=\lim Tx_i=y$
$(x,y)=(x,Tx)\in G(T)$
$\therefore G(T)$ はclosed graph
（十分）

$G(T)$ がclosed graph

$G(T)$ はBanach空間 $X \times Y$ の部分ベクトル空間 $\rightarrow \hspace{8} G(T)$ はBanach空間
$\bar{T}:X \rightarrow G(T)$ を $\bar{T}x=(x,Tx))$ で定義する（ $\bar{T}$ は全単射）
$\bar{T}$ の逆像: $p_1|_{G(T)}$ ： $p_1$ の $G(T)$ への制限
$p_1|_{G(T)}$ について $p_1$ が $X \times Y$ で連続なことかつ全射であることからopen mapping theoremより $p_1|_{G(T)}$ は open mapping
$p_1|_{G(T)}$ は連続、 $\bar{T}$ も連続
$\therefore T = p_2 \cdot \bar{T}$ は連続