KABIRAの日記

コンパクト性

集合と位相

位相空間 $(X,\mathcal{O})$
被覆
- $\mathcal{G} \subset 2^{X},\hspace{8} A \subset \cup \mathcal{G}$
開被覆
- $\mathcal{G} \subset \mathcal{O,} \hspace{8}A \subset \cup \mathcal{G}$
コンパクト性
- $^\forall \mathcal{G} \subset \mathcal{O}\hspace{4} A \subset \cup \mathcal{G},\hspace{4}\exist\{O_N \in \mathcal{G} \} \hspace{4} s.t. \hspace{4} A \subset O_1 \cup \cdots \cup O_N$
コンパクト空間
- $(X,\mathcal{O})$ : $X$ がコンパクト
- コンパクト空間の閉集合はコンパクト
コンパクトハウスドルフ空間
- - ハウスドルフ空間のコンパクト集合 $A$ と、 $A$ に属さない点は分離される
  - ハウスドルフ空間のコンパクト集合は閉集合
  - ハウスドルフ空間の交わらない２つのコンパクト集合は分離される
  - コンパクトハウスドルフ空間は正規空間

距離空間 $(X,d)$
直径
- $\delta(A)=\sup\{d(x,y)|x,y\in A \}$
- 有界： $\delta(A) < \infty$
- $A$ が $(X,d)$ のコンパクト集合 $\rightarrow$ $A$ は $(X,\mathcal{O}_d)$ の有界な閉集合

ハイネ-ボレルの被覆定理
- 通常の位相に関して、 $R$ の閉集合 $[a,b]$ はコンパクト