KABIRAの日記

§6. 測度

積分

完全加法族
- $\phi \in \mathcal{B}$
- $E \in \mathcal{B} \hspace{4} \rightarrow \hspace{4} E^c \in \mathcal{B}$
- $E_n \in \mathcal{B} \hspace{4}(n \in \mathbb{N}) \hspace{4} \rightarrow \hspace{4} \bigcup_{n=1}^{\infty}E_n \in \mathcal{B}$
測度
- $(X,\mathcal{B})$
- $0 \leq \mu (A) \leq \infty, \hspace{8} \mu (\phi) = 0$
- $A_n \in \mathcal{B} \hspace{4}(n \in \mathbb{N}), \hspace{4} A_i \cap A_j = \phi \hspace{4} (i \neq j ) \hspace{4} \rightarrow \mu (\bigcup_{n=1}^{\infty} A_n) = \sum_{n=1}^{\infty} \mu(A_n)$
定理6.1
- $X$ で定義された外測度 $\Gamma$ について
- $\Gamma$ -可測集合の全体 $\mathcal{M}_\Gamma$ は完全加法族であり
- は上の測度である
  - 前半は定理5.3と可測性の定義から
  - 後半は定理5.3と外測度の定義から(§5 参照)
Lebesgue測度：
- $R^N$ におけるLebesgue外測度 $\mu^*$ (§5 参照)について
- $\mu^*$ -可測集合の全体をLebesgue可測集合 $\mathcal{M}_\mu$
- $\mathcal{M}_\mu$ 上の測度として $\mu^*$ をLebesgue測度 $\mu$
定理6.2
- $(X,\mathcal{B},\mu), \hspace{8} A_n \in \mathcal{B}$
- 1) $\{A_n \} \uparrow$
- 2) のとき
  - $\mu( \lim_{n \rightarrow \infty} A_n) = \lim_{n \rightarrow \infty} \mu(A_n)$
- 3) 一般に
  - $\mu (\liminf_{n \rightarrow \infty} A_n) \leq \liminf_{n \rightarrow \infty} \hspace{4} \mu(A_n)$
  - $\mu(\limsup_{n \rightarrow \infty} A_n) \geq \limsup_{n \rightarrow \infty} \hspace{4} \mu(A_n) \hspace{4} \rm{if} \hspace{4} \mu(\bigcup_{n=1}^{\infty} A_n) < \infty$
  - - 2)の場合は置き換えて1)に帰着させる
    - 3)の性質も置き換えによって1)や2)の場合に帰着させる
almost everywhere
- ある性質 $P$ を満たさない集合の測度が0
定理6.3
- $^{\forall}\mathcal{A} \subset 2^X$ に対して、 $\mathcal{A} \subset \mathcal{B}$ となる最小の完全加法族 $\mathcal{B} \subset 2^X$ が存在する
のBorel set：
- $\mathcal{O}_N$ は $R^N$ 内の開集合の全体とする
- これ以外の定義でもよい
定理6.4
- $\mathcal{B}_N = \mathcal{B}[ \mathcal{F}_N ] = \mathcal{B} [ \mathcal{I}_N ]$
- (それぞれの記号については§3 参照)
- (付録§2 $\rm{Lindel\ddot{o}f}$ の被覆定理)は $R^N$ が第一可算公理を満たすことから
-有限性について
- $(X, \mathcal{B},\mu)$ において
- $^{\exist} \{ X_n \} \rm{ s.t. } X = \bigcup_{n=1}^{\infty} X_n, \hspace{4} X_n \in \mathcal{B}, \hspace{4} \mu(X_n) < \infty$
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