KABIRAの日記

§5. 外測度

積分

外測度
空間、集合関数
- $0 \leq \Gamma(A) \leq \infty, \hspace{12} \Gamma(\phi) = 0$
- $A \subset B \hspace{8} \rightarrow \hspace{8} \Gamma(A) \leq \Gamma(B)$
- $\Gamma(\bigcup_{n=1}^{\infty} A_n) \leq \sum_{n=1}^{\infty} \Gamma(A_n)$
可測性
- $E$ が可測
- $^{\foral} A \subset X, \hspace{8} \Gamma(A) = \Gamma(A \cap E) + \Gamma(A \cap E^c)$
- $^{\forall} A \subset E, \rm{ and } ^{\forall} B \subset E^c, \hspace{8} \Gamma(A+B)=\Gamma(A)+\Gamma(B)$
$\Gamma$ -可測集合： $\mathcal{M}_\Gamma$
定理5.1
- $(X,\mathcal{F},m)$
- 1. を以下で定義するとは外測度
  - $\Gamma(A)=\inf \sum_{n=1}^{\infty} m(E_n) \hspace{16} ( E_n \in \mathcal{F}, \hspace{4}A \subset \bigcup_{n=1}^{\infty}E_n )$
- 2. が上で完全加法的ならば
  - - $E \in \mathcal{F}$ なので被覆に対して $E \cap E_n \in \mathcal{F}$ と $m$ の完全加法性をつかう
Lebesgue外測度：
- 定理4.2において $f_\nu(\lambda) = \lambda$ とした有限加法的測度 $m$ から
- 定理5.1の方法で構成した外測度
定理5.2
- 定理5.1で定義された外測度について、
  - $E \in \mathcal{F}$ について、 $E \cap E_n \in \mathcal{F}$ と $m$ の有限加法性から証明する
定理5.3
- $E_k \in \mathcal{M}_\Gamma, \hspace{4} E_i \cap E_j = \phi \hspace{4} (i \neq j), \hspace{4} S = \sum_{k=1}^{\infty}E_k \hspace{8} \rightarrow \hspace{8} S \in \mathcal{M}_\Gamma, \hspace{4} \Gamma(S) = \sum_{k=1}^{\infty} \Gamma(E_k)$
- 数学的帰納法で証明
  - $^{\forall}A \subset X, \hspace{4} ^{\forall}n, \hspace{16}\Gamma(A) = \sum_{k=1}^{n} \Gamma(E_k)+\Gamma(A \cap S^{c})$
  - $E_n \in \mathcal{M}_\Gamma$ より、 $E_n$ の可測性を使う
定理5.4、系
- $E,\hspace{4} F \in \mathcal{M}_\Gamma \hspace{4} \rightarrow \hspace{4} E \cap F \in \mathcal{M}_\Gamma,\hspace{4} E \cup F \in \mathcal{M}_\Gamma$
- $E_k \in \mathcal{M}_\Gamma \hspace{4} \rightarrow \hspace{4} \bigcap_{k=1}^n E_k \in \mathcal{M}_\Gamma,\hspace{4} \bigcup_{k=1}^n E_k \in \mathcal{M}_\Gamma$
定理5.5
- 上のことから
- $E_n \in \mathcal{M}_\Gamma \hspace{4} \rightarrow \hspace{4} \bigcup_{n=1}^{\infty} E_n \in \mathcal{M}_\Gamma$

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