§7. Lebesgue 測度の性質

定理7.1（Lebesgue 測度の不変性）
- $(R^N,\mathcal{B},\mu)$ ： $\mathcal{B}$ はBorel set、 $\mu$ は Lebesgue 測度
- $A \subset R^N$ に対して $\mu*([ A + x])=\mu*([-A]) =\mu*(A)$
- $E \in \mathcal{M}_\mu$ ならば $[E+x] \in \mathcal{M}_\mu, [E+x] \in \mathcal{M}_\mu, \hspace{8} \mu([E+x]) = \mu([-E]) =\mu(E)$
以下の定理では $\mathcal{B}, \hspace{4} \mu$ が出てくるがLebesgue測度に限定せず、次のものと同じとして成り立つ
- $(R^N,\mathcal{F}_N,m)$ から $(R^N,\mathcal{M}_\mu,\mu)$ を構成する
- $m$ は $\mathcal{F}_N$ 上で完全加法的な測度で
- 有界な $I \in \mathcal{I}_N$ に対して $m(I) < \infty$
- $\mu*$ を測度 $m$ から定理5.1 の方法で構成した外測度
- 上の測度としてとする
  - $(R^N,\mathcal{B},\mu)$ の場合も含まれる
定理7.2
- - 定理5.2 より $\mathcal{F}_N \subset \mathcal{M}$ なので、あとは定理5.3参照
定理7.3
- - $\mu*(A)$ の定義に使われるのは $\mathcal{F}_N,\hspace{4} m$
  - 定理5.1 より $\mathcal{F}_N$ 上で $m(E) = \mu(E)$
  - を構成する区間から開集合を作りでをおさえる
    - $\{G_n = \Pi(a,\hspace{4}b + \frac{1}{n})\} \downarrow I$ より $\lim_{n \rightarrow \infty} \mu(G_n) = \mu(I)$ (定理6.2)
系
- - $B = \bigcap_{n=1}^{\infty} G_n, \hspace{4} \mu(G_n) < \mu*(A) + \frac{1}{n}$
定理7.4
- $A \in \mathcal{M}_\mu \hspace{4} \rightarrow \hspace{4} ^{\forall}\epsilon > 0, \hspace{4} ^{\exist}G \in \mathcal{O} \rm{ s.t. } A \subset G, \hspace{4} \mu(G-A)<\epsilon$
系
- $A \in \mathcal{M}_\mu \hspace{4} \rightarrow \hspace{4} ^{\exist}B \in \mathcal{B}, \rm{ s.t. } A \subset B, \hspace{4} \mu(B-A) = 0$
定理7.5
- $A \in \mathcal{M}_\mu \hspace{4} \rightarrow \hspace{4} ^{\forall}\epsilon > 0, \hspace{4} ^{\exist}F \rm{ s.t. } F^c \in \mathcal{O},\hspace{4} F \subset A, \hspace{4} \mu(A-F)<\epsilon$
- が有界ならばとして有界閉集合がとれる
  - 前半は $A^c$ に対して定理7.4を適用し $G \in \mathcal{O}, \hspace{4}G \supset A^c, \hspace{4} \mu(G - A^c) < \epsilon$ 　として $F = G^c$ としてもいいと思う
系
- $A \in \mathcal{M}_\mu \hspace{4} \rightarrow \hspace{4} ^{\exist}B \in \mathcal{B}, \rm{ s.t. } B \subset A, \hspace{4} \mu(A-B) = 0$
より一般的な場合の定理の構成の仕方
- 定理7.3 $\rightarrow$ 定理7.4 系、定理 7.5 系 $\rightarrow$ 定理7.4、定理 7.5
- 測度は上に書いたもの
- 外測度が以下を満たす
  - (A) $\mathcal{B}_N \subset \mathcal{M}_{\mu}$
  - (B) $^{\forall}A \in R^N, \, ^{\exist}B \in \mathcal{B}_N \rm{ s.t. } B \supset A, \, \mu(B) = \mu^* (A)$
  - (C) $A$ が有界 $\rightarrow \, \mu^* (A) < \infty$
- はじめの
  - 有界な部分集合に対して (B) を使う
  - 定理7.5 系について
  - $A \in \mathcal{M}_{\mu} \rm{ is a bounded set}, \, ^{\exist}n\rm{ s.t. } A \subset S_n\\ S_n - A\in \mathcal{M}_{\mu} \, ^{\exist}B' \in \mathcal{B} \rm{ s.t. } S_n - A\subset B',\, \mu(B'-(S_n-A))=0\\ B = S_n-B' \in \mathcal{B}, \, then \, A \supset B, \, A-B \subset B'-(S_n-A)\\ \therefore \mu(A-B)\leq \mu(B'-(S_n-A))=0$
- ２番目の
  - (B) と次の (#) より
  - (#) に対して定理7.4、定理 7.5が成り立つ
    - (#) と定理7.6 が同値
定理7.6
- 開集合閉集合
  - 以下を証明すれば良い
    - 1) 有界閉集合について成り立つ
    - 2) $\mathcal{B}_N$ の要素のうち式を満足する集合全体が可算加法族をなす
- 1)
  - $\{ G_n\} \downarrow F$ （ $G_n$ は有界開集合）に対して定理7.3 を使う
  - （ $\{G_n\}$ の存在は付録§3 定理3）
- 2)
  - $\phi \in \mathcal{A}$
  - $A \in \mathcal{A} \, \rightarrow A^c \in \mathcal{A}$
  - - $\bigcup F_{\nu} \subset \bigcup A_{\nu} \subset \bigcup G_{\nu}$ 、 $G = \bigcup G_{\nu}$
    - $H = \bigcup F_{\nu}$ について
    - 有界な部分集合に区切って $\mu (H \cap ( \overline{S_n} - S_{n-1}) - \bigcup_{\nu=1}^{k_n} F_{\nu}\cap ( \overline{S_n} - S_{n-1})) < \frac{\epsilon}{2^{\nu+1}}$
    - としてが閉集合
      - （ $C_n \subset S_{n-1}^{c}$ なので付録§1 問2）
問1
- 対称差について $[ E + \vec{x} ] -E \subset [ G + \vec{x} ] - F$ など
- （付録§2 定理3 は有界閉集合 $F$ のコンパクト性より）
問4
- $\{x_n\} \downarrow x \, \rightarrow \, \lim_{n \rightarrow \infty} f_c(x_n) = \mu ( [ c,x ]) = f_c(x)$
- $\{x_n\} \uparrow x \, \rightarrow \, \lim_{n \rightarrow \infty} f_c(x_n) = \mu ( [ c,x )) \neq f_c(x)$
問6
- $(0,l) \, \, (l > 0)$ から $B$ への単射を構成する
- 有界閉集合 $F \subset B, \, \mu(F) =l >0$ をとって
- $f(x) = \mu ([ a,x] \cap F)$ が連続 $($ ただし $F \subset [ a,b ])$
- $\alpha \in (0,l)$ について $x_{\alpha} =\sup \{x | f(x) \leq \alpha \}$ とすると $x_{\alpha} \in F$ であり、 $\alpha \rightarrow x_{\alpha}$ が $(0,l) \rightarrow F$ への単射であることを示す
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