§8. 測度空間の完備化、非可測集合の存在

積分
  • (X,\mathcal{B},\mu)
    • \overline{\mathcal{B}}=\{E \subset X| ^{\exist}B,N \in \mathcal{B} \it{ s.t. } E \ominus B \subset N, \, \mu(N)=0 \}
    • \overline{\mu}(E) = \mu(B)\, for \, E \in \overline{\mathcal{B}}
  • 定理8.1
    • \overline{\mathcal{B}}： \sigma - 加法族
  • 定理8.2
    • (X,\overline{\mathcal{B}},\overline{\mu}) は完備測度空間
    • 測度空間
      • 可算加法性
        • E_i \cap E_j = \phi \, (i \neq j) \, \rightarrow B_{2i} \cap B_{2j} = \phi \, (i \neq j)　（定理8.3 参照）
    • 完備性
      • A \subset E \in \overline{\mathcal{B}}, \, \overline{\mu}(E)=0 \, \rightarrow \, A \ominus B_1 \subset B_1,\, \mu(B_1) =0
  • 定理8.3
    • (X,\overline{\mathcal{B}},\overline{\mu})：(X,\mathcal{B},\mu) の完備化
    • ^{\forall} E \in \overline{\mathcal{B}} \, ^{\exist}B_1,B_2 \in \mathcal{B} \it{ s.t. } B_2 \subset E \subset B_1, \, \mu(B_2 -B_1) = 0, \, \mu(B_1) = \overline{\mu}(E) = \mu(B_2)
      • B_1 = B \cup N, \, B_2 = B-N
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