ランナー　と　得点

こちらの記事の野球っぽいゲーム
塁上にいる人のパターンと得点について
第N塁に人がいることを1、いないことを0と書くことにして $N \leq 3$ のとき、考えられる状況は $2^3=8$ 通り

$\begin{vmatrix} base3 & base2 & base1\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 1\\ 1 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 0\\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}$

これを整数の２進法表示と同一視して、上から順に整数０から7を対応させる
仮想的に $N \geq 4$ もゆるす

$\begin{vmatrix} No \\ 0\\1\\2\\3\\4\\5\\6\\7\\ \vdots \end{vmatrix} \begin{vmatrix} \ldots & base N & \ldots & base3 & base2 & base1\\ \ldots & 0 & \ldots & 0 & 0 & 0\\ \ldots & 0 & \ldots & 0 & 0 & 1\\ \ldots & 0 & \ldots & 0 & 1 & 0\\ \ldots & 0 & \ldots & 0 & 1 & 1\\ \ldots & 0 & \ldots & 1 & 0 & 0\\ \ldots & 0 & \ldots & 1 & 0 & 1\\ \ldots & 0 & \ldots & 1 & 1 & 0\\ \ldots & 0 & \ldots & 1 & 1 & 1\\ & \vdots & & \vdots & \vdots & \vdots \end{vmatrix}$

ヒットによって状況が変化する
- シングルヒットでは累上の人がひとつ前のベースに進み、打者が１塁に移動する
- ツーベースヒットでは累上の人が２つ前のベースに進み、打者が2塁に移動する
- スリーベース、HRも同様に考える
２進法表示で考えれば
- シングルヒットでは１桁繰り上げて１を足す
- ツーベースヒットでは２桁繰り上げて10を足す
- スリーベース、HRも同様
10進法で書き直せば
- シングルヒット：２をかけて1を足す
- ツーベースヒット：4をかけて2を足す
- スリーベースヒット、HRも同様

10進法での話
$f(x)=2x+1$ とする
xを状況に対応した整数とする
- 状況xからシングルヒットがでたとき、新たな状況は $f(x)$ であらわされる
- 状況xからツーベースヒットがでたとき、新たな状況は $2f(x)$ であらわされる
- 状況xからスリーベースヒットがでたとき、新たな状況は $4f(x)$ であらわされる
- 状況xからHRがでたとき、新たな状況は $8f(x)$ であらわされる
つまりアフィン変換の線型結合である

得点について
- baseN(N > 3)にいる人数を得点とみなせばよいが、得点をうまく数える方法はないだろうか....
- ２進法表示のままでbase4以上の人数（１の数)を数えさせるのが楽だ