ポアソン分布の微細な定義　指数分布　アーラン分布

分布

1 ポアソン分布

  • 仮定
    • 1.任意の時間と時間でそれぞれに発生する事象は巣顔に独立である
    • 2.時間hに発生する事象P(1|h)について　P(1|h)=\lambda h + o(h)　とする
    • 3.時間hに２件以上の事象が発生する確率について　P(n|h)=o(h)　(n \geq 2)　とする
  • 以上の３つからP(n|t)=e^{-\lambda t}\frac{(\lambda t)^n}{n!}が導かれる。

2 指数分布

  • 指数分布Pe(t)について
  • Pe(t)=1-P(0|t)　という関係がある
  • これを用いて指数分布を導くためにはポアソン分布の条件１、２、３は必要ではなく、１と２、３より条件の緩い2'でよい
    • 1.任意の時間と時間でそれぞれに発生する事象は巣顔に独立である
    • 2'.時間hに1件以上の事象が発生する確率について　P(n|h)=\lambda h + o(h)　とする
  • 条件1と2'を用いてPe(t)=1+e^{-\lambda t} が導ける。

3 アーラン分布

  • ポアソン過程がm回起きるまでの時間Tの分布について
  • F(T > t |m)= \displaystyle \sum_{k=0}^{m-1} Poi(k|\lambda t)なので、
  • 確率密度関数は
  • f(t)= \frac{d}{d t}(1- \displaystyle \sum_{k=0}^{m-1} Poi(k|\lambda t)) = \frac{\lambda^m t^{m-1} e^{\lambda t}}{(m-1)!}で与えられる。
  • アーラン分布である。