拡散

シミュレーション 分布 拡散

KABIRA2010-11-24

  • これは拡散の様子のシミュレーション
    • 密度に書き換えた
    • z軸の上限を0.02にしてプロットしてみた
  • ここまではランダムウォークのシミュレーション
    • その場にとどまる確率：\frac{1}{9}
    • 各方向距離d=1動く確率：\frac{1}{9}
    • その他：0
  • 拡散方程式にする
  • 仮定など
    • 距離関数：d(x,y)=max\{ |x_1-y_1|,|x_2-y_2|\}
    • 初期分布：f(x,y,0)=\delta(\vec{r})
    • 境界条件：x \rightarrow \pm \infty, y \rightarrow \pm \inftyのときf\rightarrow 0　としておく
    • 時間\Delta t = 1　で　距離d=1　動く
    • f(x,y,t + \Delta t)= \sum_{i,j \in \{ -d,0,d\}} \frac{1}{9} f(x+i,y+j,t)
  • テイラー展開
    • \frac{\par f}{\par t}\Delta t +o(t)=\frac{d^2}{3}\{ \frac{\par ^2 f}{\par x^2}+\frac{\par ^2 f}{\par y^2} \}+o(d^2)
  • 拡散方程式
      • \frac{\par f}{\par t} = \kappa \{ \frac{\par ^2 f}{\par x^2}+\frac{\par ^2 f}{\par y^2} \}
      • (\kappa=\frac{d^2}{3\Delta t}=\frac{1}{3})
  • 追記
    • スケーリングが怪しかったのでこちらの記事に書きました