§4. 有限加法的測度

積分
  • 有限加法族
    • X、\mathcal{F} \subset 2^X
      • \phi \in \mathcal{F}
      • A \in \mathcal{F} \hspace{8} \rightarrow \hspace{8}A^c \in \mathcal{F}
      • A,B \in \mathcal{F} \hspace{8} \rightarrow \hspace{8} A \cup B \in \mathcal{F}
  • 有限加法的測度
    • 空間X、有限加法族\mathcal{F}、集合関数m
      • ^\forall A \in \mathcal{F}, \hspace{8} 0 \leq m(A) \leq \infty, \hspace{16} m(\phi) = 0
      • A,B \in \mathcal{F}, \hspace{4} A \cap B = \phi \hspace{8} \rightarrow \hspace{8} m(A+B) = m(A) + m(B)
  • 定理4.1
    • Z = X \times Y、 \mathcal{E,F}はそれぞれX,Yの部分集合の有限加法族
    • K = E \times F \hspace{12} (E \in \mathcal{E}, \hspace{8} F \in \mathcal{F}) と表されるKの直和の集合を\mathcal{K}
    • \mathcal{K}は有限加法族
  • 有限加法族\mathcal{F}上の有限加法的測度mについて
    • mが有限加法族\mathcal{F}の上で完全加法的な測度
      • A_1,A_2, \cdots \in \mathcal{F}, \hspace{8} A_i \cap A_j = \phi \hspace{8} (i \neq j)のとき
      • A = \sum_{n=1}^{\infty}A_n \in \mathcal{F}ならばm(A) = \sum_{n=1}^{\infty} m(A_n)となるという条件をみたす
  • 定理4.2
    • (R^N,\mathcal{F}_N)
    • mの定義を以下のようにする
      • R^1の定数でない実数値単調増加関数f_\nu(\lambda)を用いて
      • 区間I = \prod_{\nu = i}^{N} (a_\nu,b_\nu ]に対して
      • 区間塊E=\sum_{i=1}^{n}I_iに対して
        • m(E) = \sum_{i=1}^{n}m(I_i)
    • mが\mathcal{F}の上で完全加法的であるための必要十分条件はf_\nu(\lambda)が右連続であること
  • 定理4.2の証明について