ハプロタイプの集合

ベッドルームの群論から
- （亜群）
確率や分布などの定量性ではなく、そもそも組換えの性質について
- この記事の組換え則は多価関数である
- Nローカスある場合は 1つの $H \times H$ の元に対し $2^N$ 個の $H$ の元が対応する
多価関数について
- hemicontinuityがここに出ていて、semicontinuityは関連概念？（言葉がどちらも"半連続"であるだけ？）

semicontinuity
1. upper semicontinuity

定義

拡張された実関値数 $f(x)$ が各点でupper semicontinuous

upper semicontinuous at $x_0$

$^{\forall}\epsilon > 0 , \, ^{\exist}U \in \mathcal{N}(x_0) \rm{ s.t. } f(x) \leq f(x_0)+\epsilon \, \, ^{\forall}x \in U$

$\limsup_{x \rightarrow x_0} \, f(x) \leq f(x_0)$

$f(x)$ がupper semicontinuous iff $\, ^{\forall} \alpha \in R, \, \{x \in X | f(x) < \alpha \} \in \mathcal{O}$

開集合の定義関数 $\chi_O \, (O \in \mathcal{O})$ はupper semicontinuous

2. lower semicontinuity

定義

拡張された実関値数 $f(x)$ が各点でlower semicontinuous

lower semicontimuous at $x_0$

$^{\forall}\epsilon > 0 , \, ^{\exist}U \in \mathcal{N}(x_0) \rm{ s.t. } f(x) \geq f(x_0)-\epsilon \, \, ^{\forall}x \in U$

$\liminf_{x \rightarrow x_0} \, f(x) \geq f(x_0)$

$f(x)$ がlower semicontinuous iff $\{x \in X | f(x) > \alpha \} \in \mathcal{O} \rm{ for every } \alpha \in R$

$f(x)$ がlower semicontinuous iff $\{x \in X | f(x) \leq \alpha \}$ が閉集合 $\rm{ for every } \alpha \in R$

閉集合の定義関数 $\chi_F \, \, (F^c \in \mathcal{O})$ はlower semicontinuous

3. 性質

$f(x)$ が $x_0$ で連続 iff $f(x)$ が $x_0$ で upper semicontinuous かつ lower semicontinuous

$f,g$ が upper semicontinuous $\Rightarrow \hspace{8} f + g$ はupper semicontinuous

さらに $f,g \geq 0 \hspace{8} \Rightarrow \hspace{8} fg$ は upper semicotinuous

$f$ が upper semicontinuous $\Rightarrow \hspace{8} -f$ は lower semicontinuous

その他...

PlanetMath
$(X,\mathcal{O}_X), \, \bb{R}^{\rm{*}}=\bb{R}\cup \{\infty, -\infty \}$ $\rm{ function}:f:X\rightarrow \bb{R}^{\rm{*}}$
1. upper semicontinuous

$\rm{if } f^{-1}((\alpha,\infty]) \in \mathcal{O}_X \, \forall \alpha \in \bb{R}$

2. lower semicontinuous

[tex: \rm{if } f^{-1}*1 \in \mathcal{O}_X \, \forall \alpha \in \bb{R} ]

2'. lower semicontinuous

f is continuous with respect to the topolory below for $\bb{R}^{\rm{*}}$

${O}_{lower=\{ (\alpha ,\infty] \| \alpha \in \bb{R}$ $\cup \{-\infty\} \} \cup \{\phi\}$