位相空間　開基　基本近傍系

集合と位相
  • 上限位相、下限位相
    • 実数全体の集合R
    • \mathfrak{B}_u = \{(a,b\|a \in R, b\in R, a
    • [tex:\mathfrak{B}_l = \{\[a,b)|a \in R, b \in R, a
    • 上限位相：\mathfrak{B}_u を開基とする R の位相
    • 下限位相：\mathfrak{B}_l を開基とする R の位相
  • 準開基 \mathfrak{I}
    • \mathfrak{I} \subset \mathcal{O} が位相 \mathcal{O} の準開基
    • ^\forall O \in \mathcal{O},x \in O, ^\exist \{N_1, \cdots , N_r \} (N_1, \cdots ,N_r \in \mathfrak{I}) s.t. x \in N_1 \cap \cdots \cap N_r, N_1\cap \cdots \cap N_r \subset O
  • 基本近傍系 \mathcal{V(x)}
    • \mathcal{V(x)} が点xの基本近傍系
    • N \in \mathcal{N}(x) \rightarrow ^\exist U \in \mathcal{V}(x)\rm{ s.t. } U \subset N
  • 可算公理
  • 第一可算公理:
    • Xの各点が高々可算個の近傍からなる基本近傍系をもつ
  • 第二可算公理
    • 位相\mathcal{O}が高々可算個の開集合からなる開基をもつ
  • 稠密、可分
    • A \subset Xが稠密：\overlin{A}=X
    • 可分：稠密な高々可算個の部分集合をもつ
      • (R^n,d^{(n)})は可分